Kaks ühendatud anumat

Ülesanne. Veendu, et_$N$osakest saab kahte anumasse jaotada_{$2 to the power of N$} erineval viisil. Hinda tõenäosust, et laboris saavutatud vaakumi_{$n equals 10 to the power of 4 space c m to the power of negative 3 end exponent$} ning kahe_{$0 comma 5 space m m cubed$} suuruse ruumalaga ühendatud anuma korral paiknevad kõik osakesed ühes anumas.

Lahendus.

Kui meil on üks osake, siis on meil kaks võimalust, millises anumas ta võib olla. Kui meil on kaks osakest, siis on mõlemal osakesel kaks võimalust millises anumas olla ning kokku on erinevaid võimalusi _{$2 times 2 equals 2 squared.$} Seega ühe ja kahe osakese puhul ülaltoodud valem kehtib.

Eeldame, et valem kehtib ka_$N$osakese jaoks. See tähendab, et kui meil on_$N$osakest, siis on meil eelduse kohaselt_{$2 to the power of N$} võimalust neid kahe anuma vahel jaotada. Kui nüüd lisada veel üks osake, siis võimaluste arv kahekordistub, sest lisanduva osakese võime paigutada emba-kumba anumasse. Saame, et_{$N plus 1$} osakese puhul on võimaluste arv_{$2 to the power of N times 2 equals 2 to the power of N plus 1 end exponent.$}Saime, et valem kehtib ka_{$N plus 1$}osakese jaoks. Seega võime järeldada, et valem kehtib suvalise lõpliku arvu_$N$puhul.

Arvutame nüüd tõenäosuse, et kõik osakesed on ülaltoodud tingimustel koondunud ühte anumasse. Soodsaid võimalusi on kaks: kõik osakesed on kas esimeses või teises anumas. Kõigi võimaluste hindamiseks leiame esmalt osakeste arvu. Kahe anuma ruumala on kokku _{$1 space m m cubed$}ning_{$n equals 10 to the power of 4 space c m to the power of negative 3 end exponent equals 10 space m m to the power of negative 3 end exponent.$} Seega on kahe anuma peale kokku 10 osakest ning neid on võimalik jaotada_{$2 to the power of 10$}erineval viisil. Meid huvitav tõenäosus on seega

$p equals 2 over 2 to the power of 10 equals 0 comma 2 percent sign.$

VASTUS: tõenäosus, et kõik osakesed on ühes anumas on_{$0 comma 2 percent sign.$}