MÜ00. Kasulikud valemid

Kiirenduse definitsioon. Mitteühtlane liikumine tähendab, et liikumine toimub kiirendusega. Kiirendus tähendab kiiruse muutumise kiirust (ehk kiiruse muutumist aja jooksul). Viimane lause võib esmapilgul tunduda segane, kuid just nii on kõige mugavam arvuliselt iseloomustada olukordi, kus keha liikumiskiirus muutub.

Oletame, et keha alustab liikumist algkiirusega_{$v subscript 0$} ning saavutab vaadeldava aja_$t$ jooksul mingisuguse lõppkiiruse_$v$. Sellisel juhul on kiirendus_$a$ võrdne kiiruse muutuse (lõpp- ja algkiiruse vahe) ja selleks kulunud aja jagatisega:

$a equals fraction numerator v minus v subscript 0 over denominator t end fraction$ .

Kiirendus võib omada ka negatiivseid väärtusi. Selline olukord saab juhtuda siis, kui algkiirus_{$v subscript 0$} on suurem, kui lõppkiirus_$v$. Tavakeeles öeldakse sellise olukorra kohta (kui kiirus väheneb), et tegemist on aeglustumisega. Seega kiiruse vähenemine väljendub mehaanikas asjaolus, et kiirenduse väärtus_{$a less than 0$}.

Igapäevaelust teame, et ka kiirendus võib igal ajahetkel muutuda, kuid koolifüüsikas enamasti selliseid ülesandeid ei vaadelda, vaid piirdutakse lihtsuse mõttes juhtumitega, kus kiirendus püsib vaadeldava aja jooksul muutumatuna.

Ühtlase kiirendusega liikumise üldine liikumisvõrrand ja selle tuletamine.
Ühtlane kiirendus tähendab seda, et kiirendus ei muutu ning kiirus muutub seega lineaarselt.

Alati kehtib seos

_{$s equals s subscript 0 plus v subscript k times t$}.

Keskmine kiirus sõltub nii alg- kui ka lõppkiirusest:

_{$v subscript k equals fraction numerator v subscript 0 plus v over denominator 2 end fraction$}.

Saame liikumisvõrrandi avaldada kujul:

$s equals s subscript 0 plus fraction numerator v subscript 0 plus v over denominator 2 end fraction times t.$

Algne teepikkus ja algkiirus on praktilistes, elulistes ülesannetes üldjuhul teada (saame mõõta, millised on uuritavad suurused mingil vaadeldaval alghetkel). Lõppkiirust aga ette teada üldiselt ei ole, sest kiirendusega liikudes sõltub see kulunud ajast. Seega antud valemit praktikas tihti rakendada ei saa.

Küll aga on lisaks algkiirusele üldiselt teada, millise kiirendusega hakatakse liikuma. Seega saab kiirenduse definitsioonist_{$a equals fraction numerator v minus v subscript 0 over denominator t end fraction$} avaldada lõppkiiruse:

_{$v equals a t plus v subscript 0.$}

Kirjutame viimase avaldise_{$v equals a t plus v subscript 0$} sisse võrrandisse_{$s equals s subscript 0 plus fraction numerator v subscript 0 plus v over denominator 2 end fraction times t$}. Tulemuseks saame:

$s equals s subscript 0 plus fraction numerator v subscript 0 plus a t plus v subscript 0 over denominator 2 end fraction times t.$

Saadud tulemust on võimalik veidi lihtsustada:

$s equals s subscript 0 plus fraction numerator v subscript 0 plus a t plus v subscript 0 over denominator 2 end fraction times t equals s subscript 0 plus fraction numerator 2 v subscript 0 plus a t over denominator 2 end fraction times t equals s subscript 0 plus fraction numerator 2 v subscript 0 t over denominator 2 end fraction plus fraction numerator a t times t over denominator 2 end fraction equals s subscript 0 plus v subscript 0 t plus fraction numerator a t squared over denominator 2 end fraction.$

Lõplik kuju on seega:

$s equals s subscript 0 plus v subscript 0 t plus fraction numerator a t squared over denominator 2 end fraction.$

Seos alg- ja lõppkiiruse, kiirenduse ja teepikkuse vahel ilma ajamuutujata.
Veel on võimalik tuletada eelmisega analoogne võrrand, kuid selline, mis sisaldab lõppkiirust ning ei sisalda ajamuutujat. Tegemist on vähem kasutust leidva valemiga, kuid vahel on see siiski kasulik. Vaatleme kiirenduse definitsiooni:

$a equals fraction numerator v minus v subscript 0 over denominator t end fraction.$

Korrutame mõlemad võrduse pooled ajaga t:

$a t equals v minus v subscript 0.$

Korrutame mõlemaid võrduse pooli keskmise kiirusega_{$v subscript k$}:

$a t times v subscript k equals left parenthesis v minus v subscript 0 right parenthesis times v subscript k.$

Kuna teame, et_{$v subscript k equals fraction numerator v plus v subscript 0 over denominator 2 end fraction equals s over t$}, siis asendame kummalegi võrduse poolele erineva valemi keskmise kiiruse kohta:

$a t times s over t equals left parenthesis v minus v subscript 0 right parenthesis times fraction numerator v plus v subscript 0 over denominator 2 end fraction.$

Võrduse vasakul poolel saab taandada ajamuutuja t ning võrrandi pooled läbi jagada kiirendusega a:

$s equals left parenthesis v minus v subscript 0 right parenthesis times fraction numerator v plus v subscript 0 over denominator 2 a end fraction.$

Lõpuks saab kasutada matemaatikast tuntud seost_{$left parenthesis a minus b right parenthesis left parenthesis a plus b right parenthesis equals a squared minus b squared$}:

$s equals fraction numerator v squared minus v subscript 0 squared over denominator 2 a end fraction.$