MÜ000. Teepikkus, kiirus, kiirendus ja tuletis

Teepikkus on vahemaa, mille liikuv keha läbib mingi ajavahemiku jooksul.

Liikumiskiirus iseloomustab, milline teepikkus ajaühiku jooksul läbitakse. Teepikkuse ja kulunud aja suhe annab meile keskmise kiiruse: v subscript k equals s over t.

Keskmine kiirus on sageli kasulik suurus, kuid samuti on vahel oluline teada kiirust mingil konkreetsel ajahetkel, ehk hetkkiirust. Ühtlase liikumise puhul (kiirus ei muutu) on keskmine kiirus ja hetkkiirus muidugi samad ning sellisel juhul ei ole neil tarvis vahet teha. Reaalsetes olukordades see aga enamasti nii ei ole, seetõttu on hetkkiirus defineeritud kui teepikkuse muutus ajaühiku kohta, aga juhul, kui ajavahemik on ülimalt lühike, läheneb nullile.

v equals limit as capital delta t rightwards arrow 0 of fraction numerator capital delta s over denominator capital delta t end fraction equals s apostrophe

Sellist s piirväärtust nimetatakse ka s tuletiseks, mis on võetud muutuja t järgi ning vahel tähistatakse s’.

Seega s tuletis iseloomustab s muutumiskiirust ajas, mis ongi liikumise kiirus. Sama kehtib ka teiste suuruste puhul. Suuruse X tuletis aja järgi annab meile X muutumiskiiruse.

Asjakohane näide on kiirendus: kiirendus on ju suurus, mis peab näitama, kui kiiresti muutub liikumiskiirus. Seega on kiirendus defineeritud kui kiiruse tuletis: a equals v apostrophe equals s apostrophe apostrophe.

Kuna kiirus on teepikkuse tuletis, siis kiirendus on teepikkuse teist järku tuletis.

Teepikkust iseloomustab kõige üldisemalt liikumisvõrrand: s equals s subscript 0 plus v subscript 0 t plus fraction numerator a t squared over denominator 2 end fraction.

Kui sellest avaldisest võtta tuletis muutuja t järgi, saame: s apostrophe equals v subscript 0 plus a t, mis ongi kiiruse avaldis. Sellest omakorda tuletist võttes näeme, et järele jääb ainult kiirendus a.

Kehtib ka vastupidine arutluskäik:

Kiirenduse a integraal muutuja t järgi on: integral a d t equals a t plus C, kus juurdelisatavat konstanti C tähistatakse v0. Näeme, et kiirenduse integraal on kiirus. Edasi kiiruse avaldist integreerides saame: integral left parenthesis a t plus v subscript 0 right parenthesis d t equals fraction numerator a t squared over denominator 2 end fraction plus v subscript 0 t plus C, kus juurdelisatavat konstanti C tähistatakse s0.