MÜ15. Maapinnaga nurga all tulistatud mürsk

Ülesanne. Kahurist tulistatakse välja mürsk, mille algkiirus on 750 m/s. Nurk kahuritoru ja maapinna vahel on 45 kraadi. Leida, kui kaugel asuvat sihtmärki mürsk tabab (kaugus s) ning milline on mürsu maksimaalne kõrgus kahuritorust lennu ajal (kõrgus h). Õhutakistust ei arvestata.

Teada on mürsu algkiirus ja nurk kahuritoru ning maapinna vahel

Teada on mürsu algkiirus ja nurk kahuritoru ning maapinna vahel

Lahendus. Esmalt paneme kirja andmed. Kuna antud ülesandes on vertikaalsuunas olemas algkiirus ning kiirendus ja nad on erineva suunaga, siis tuleb nad tähistada erineva märgiga – üks positiivne, teine negatiivne. Ei ole oluline, kumb on kumma märgiga – ütleme näiteks, et algkiirus on positiivne ning seega kiirendus negatiivne.

Antud:

g almost equal to negative 9 comma 8 m over s squared v subscript 0 equals 750 m over s alpha equals 45 degree minus negative negative negative negative negative negative negative negative negative negative negative s equals ? h equals ?

Vertikaalsuunalist ja horisontaalsuunalist liikumist võib käsitleda teineteisest sõltumatult, eraldi. Horisontaalsuunalisel liikumisel on teatud algkiirus ja kiirendus ning vertikaalsuunalisel liikumisel võivad olla hoopis teistsugused algkiirus ja kiirendus. Kui mürsk lõpuks maha kukub, siis mõlemal liikumise sihil peab sama olema vaid liikumiseks kulunud aeg.
Seega vaatleme alustuseks vertikaalsuunalist liikumist, sest sealt saame teada liikumiseks kulunud aja. Miks just vertikaalsuunalisest liikumisest? Sest teame, et vertikaalsuunalise liikumise korral jõuab mürsk lõpuks tagasi samale kõrgusele, kust ta alustas, seega mürsu kõrgus liikumise lõppedes on 0.
Algkiiruse v subscript 0 vertikaalne osa on v subscript 0 times sin left parenthesis alpha right parenthesis.

h equals h subscript 0 plus v subscript 0 times sin left parenthesis alpha right parenthesis times t plus fraction numerator g t squared over denominator 2 end fraction 0 space m equals 0 space m plus 750 m over s times sin left parenthesis 45 degree right parenthesis times t plus fraction numerator negative 9 comma 8 begin display style m over s squared end style times t squared over denominator 2 end fraction 0 space m equals t times open parentheses 750 m over s times fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction plus fraction numerator negative 9 comma 8 begin display style m over s squared end style times t over denominator 2 end fraction close parentheses 750 m over s square root of 2 minus 9 comma 8 m over s squared times t equals 0 t equals fraction numerator 750 m over s square root of 2 over denominator 9 comma 8 m over s squared end fraction equals 108 comma 2 space s

Mürsk lendab 108,2 sekundit.

Mürsk on saavutanud oma suurima kõrguse ajahetkel, kui vertikaalsuunaline kiirus on 0. Ehk siis kõrguse tuletis on 0: h’=0.

h equals h subscript 0 plus v subscript 0 times sin left parenthesis alpha right parenthesis times t plus fraction numerator g t squared over denominator 2 end fraction h apostrophe equals v subscript 0 times sin left parenthesis alpha right parenthesis plus g t equals 0 t equals fraction numerator v subscript 0 times sin left parenthesis alpha right parenthesis over denominator negative g end fraction equals fraction numerator 750 begin display style m over s end style times sin left parenthesis 45 degree right parenthesis over denominator negative left parenthesis negative 9 comma 8 begin display style m over s squared end style right parenthesis end fraction equals 54 comma 1 space s

Matemaatiliselt leidsime selle, mis tundub ka intuitiivselt loogiline – mürsu suurim kõrgus saabub siis, kui läbitud on täpselt pool lennuajast. Selle aja läbimisel on mürsu kõrgus:

h equals h subscript 0 plus v subscript 0 times sin left parenthesis alpha right parenthesis times t plus fraction numerator g t squared over denominator 2 end fraction h equals 750 m over s times sin left parenthesis 45 degree right parenthesis times 54 comma 1 space s plus fraction numerator negative 9 comma 8 begin display style m over s squared end style times left parenthesis 54 comma 1 space s right parenthesis squared over denominator 2 end fraction equals 14349 space m

Nüüd vaatleme horisontaalsuunalist liikumist. Horisontaalsuunas kiirendust ei ole. Seega horisontaalsuunas toimub ühtlase kiirusega liikumine. See liikumine saab toimuda 108,2 sekundit (selle ajaga tabab mürsk sihtmärki). Algkiiruse horisontaalne osa on v subscript 0 times cos left parenthesis alpha right parenthesis.

s equals v subscript 0 times cos left parenthesis alpha right parenthesis times t equals 750 m over s times fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction times 108 comma 2 space s equals 57382 space m

VASTUS: Mürsk tõuseb u. 14,35 km kõrgusele ning lendab u. 57,38 km kaugusele.